Landesverband Mathematikwettbewerbe NRW e. V. 7. Landeswettbewerb 2001 in Bielefeld 3. Runde der 40. Mathematikolympiade Aufgaben der Klassen 12 und 13

Aufgabe 1:

Bestimmen Sie die Lösungsmenge { (m,n) / m,n e Z } von:   .

Aufgabe 2:

Beweisen Sie:
Die Folge , enthält alle Primzahlen außer 2 und 3.

Hinweis: Beachten Sie die Reste aller Primzahlen modulo 6.

Aufgabe 3:

Bei einem rechtwinkligen Dreieck ABC berührt ein Kreis k(M;r) den Umkreis sowie die beiden Katheten.

1. Zeigen Sie, dass für den Radius r des Kreises k gilt: r = a + b – c.
   ( a, b und c sind die Seiten des Dreiecks ABC )
   
2. Beweisen Sie, dass der Radius r des Kreises k doppelt so groß ist wie der Inkreisradius des rechtwinkligen Dreiecks ABC.