Landesverband Mathematikwettbewerbe NRW e. V. 8. Landeswettbewerb 2002 in Köln 3. Runde der 41. Mathematikolympiade Aufgaben der Klassen 12 und 13

Aufgabe 1:

Man bestimme die ersten drei Folgenglieder a₁, a₂, a₃ von allen möglichen Zahlenfolgen (a_n), welche die Eigenschaften (1) – (4) besitzen:

1. Alle Folgenglieder a_n sind ganzzahlig und positiv.
2. Es gilt a₁ + a₃ = 10.
3. Es gilt a₆ + a₈ = 100.
4. Für alle k = 1,2,3, ... gilt a_k+3 = a_k + a_k+1 + a_k+2 –2k² + 4.

Aufgabe 2:

1. In einem Dreieck ABC berühre der Inkreis die Seite in K.
   Zeige, dass dann gilt.
2. Es sei ABC ein Dreieck und D ein Punkt auf der Seite . Man beweise, dass der Inkreis des Dreiecks ADC den Inkreis des Dreiecks DBC genau dann berührt, wenn D der Berührpunkt des Inkreises von Dreieck ABC mit der Seite ist.

Aufgabe 3:

Man bestimme in der Dezimaldarstellung der Zahl

1. die unmittelbar vor dem Komma stehende Ziffer,
2. die unmittelbar nach dem Komma stehende Ziffer.

Hinweis: Beachte, dass .