Landesverband Mathematikwettbewerbe NRW e. V.

9. Landeswettbewerb 2003 in Münster

3. Runde der 42. Mathematikolympiade
Aufgaben der Klasse 13

Aufgabe 1:

Für alle reellen Zahlen a und b ermittle man, wie viele reelle Lösungen x die Gleichung 

(2x + a + b)3 = (x + a)3 + (x + b)3
besitzt, und gebe diese an.

 

Aufgabe 2:

Gegeben seien im Raum 4 paarweise verschiedene Punkte A, B, C und D. Man bestimme die Anzahl der Ebenen E mit der Eigenschaft, dass alle 4 Punkte  A, B, C, D jeweils den gleichen Abstand von E haben.

 

Aufgabe 3:

  1. In einer Beratung sitzen zehn Personen um einen runden Tisch. Nach einer Pause nehmen sie wieder Platz, wobei sich jeder auf seinen bisherigen Stuhl oder auf einen der beiden Nachbarstühle setzt.
    Wie viele verschiedene Sitzordnungen sind nach der Pause möglich?
  2. Erschließe die Anzahl der verschiedenen Sitzordnungen nach der Pause für zehn Personen.

 

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